Question

12．已知函数f（x）=1g（10^x+1）+ax是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）比较f（2）与f（4）的大小．

Answer 1

分析 （1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）即lg（10^-x+1）-ax=lg（10^x+1）+ax，解出a即可；
（2）利用作差法，即可比较f（2）与f（4）的大小．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数
∴对任意的实数x都有：f（-x）=f（x）
 即lg（10^-x+1）-ax=lg（10^x+1）+ax整理得：
?lg（10^-x+1）-lg（10^x+1）=2ax
?lg10^-x=2ax
?10^2ax=10^-x…（1）
如果（1）式对任意的实数x恒成立，则2a=-1
即a=-$\frac{1}{2}$．
（2）f（2）-f（4）=1g（10²+1）-1-1g（10⁴+1）+2=1g（10²+1）-1g（10⁴+1）+1＜0，
∴f（2）＜f（4）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，考查学生的计算能力，属于基础题型．