Question

（文）（1）用坐标法证明公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）证明：cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β．

Answer 1

分析：（1）如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β，求出

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinα sinβ，设

OA

 与

OB

 
的夹角为θ，则 θ=2kπ+α-β，k∈z，且

OA

•

OB

=|

OA|

•

|OB

|•cosθ=cosθ，由此可得所证的结论成立．
（2）由 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，利用同角三角函数间的关系化简
cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β，命题得证．

解答：（1）证明：如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β，使角α、β 的始边为Ox轴，
角α、β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ）．
∴

OA

•

OB

=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ ）=cosαcosβ+sinα sinβ．
设

OA

 与

OB

 的夹角为θ，则 θ=2kπ+α-β，k∈z，且

OA

•

OB

=|

OA|

•

|OB

|•cosθ=cosθ．
∴cosθ=cos（α-β）=cosαcosβ+sinα sinβ，故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．

（2）证明：∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴cos（α+β）cos（α-β）=（cosαcosβ+sinαsinβ）（cosαcosβ-sinαsinβ）=cos²αcos²β-sin²α•sin²β
=cos²α（1-sin²β）-sin²α•sin²β=cos²α-sin²β．
∴cos（α+β）cos（α-β）=cos²α-sin²β 成立．

点评：本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．