Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2． （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（I）连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD的中点，∴BE⊥CD，
∵CD∥AB，∴BE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
∴PA⊥BE，又PA平面PAB，AB平面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB，又BE平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB．
（II）设AC∩BD=O，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，
以平面ABCD过O的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），
P（0，﹣ ，2），E（﹣ ， ，0），
∴ =（0，0，2）， =（﹣ ， ，0）， =（﹣ ， ，0）， =（﹣ ，﹣ ，2）．
设平面PAD的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），平面PBE的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），
则 ， ．
∴ ， ．
令x1= 得 =（ ，1，0），令x2=1得 =（1， ，1）．
∴cos＜ ， ＞= = = ．
∵平面PAD和平面PBE所成二面角为锐角，
∴平面PAD和平面PBE所成二面角的余弦值为 ．

【解析】（I）根据菱形的性质得出BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BE，故而BE⊥平面PAB，于是结论得证；（II）设AC，BD交点为O，以O为原点建立坐标系，求出两个平面的法向量 ，则|cos＜ ＞|即为所求．