Question

（本小题8分）已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2．
（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；
（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程．

Answer 1

(1)点P的轨迹C的方程为x²+y²=1． (2) x=1 或3x-4y+5=0 。

本题考查点轨迹方程的求法，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑切线的斜率不存在的情况，这是易错点
（1）设P（x，y），由|AB|=2，且P为AB的中点，可得|OP|=1，由两点间的距离公式求得点P的轨迹方程．
（2）①当切线的斜率不存在时，由条件易得x=1符合条件；②当切线的斜率存在时，设出切线方程，由切线的性质可解得斜率k的值，用点斜式求得切线方程．
解: (1) 方法一：设P(x , y ),   
∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，
∴∣OP∣=1                 ……………………2分
∴点P的轨迹方程为x²+y²=1．  ……………………4分
方法二：设P(x , y )， ∵P为AB的中点，
∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ),         ………………………2分
又∵∣AB∣=2     ∴(2x)²+(2y)²=2             
化简得点P的轨迹C的方程为x²+y²=1． ……………4分
(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,
由条件易得  x=1符合条件;     ………………5分
②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-2=k(x-1) 即kx-y+2-k=0
由    得k=,   ∴切线方程为y-2= (x-1)
即 3x-4y+5=0 
综上，过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程为：
x=1 或3x-4y+5=0      ……………………8分