Question

已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1)=1,若m、n∈［-1,1］，m+n≠0时有＞0.

(1)用定义证明f(x)在［-1,1］上是增函数；

(2)解不等式f(x+)＜f();

(3)若f(x)≤t²-2at+1对所有x∈［-1,1］，a∈［-1,1］恒成立，求实数t的取值范围.

Answer 1

(1)证明：任取-1≤x₁＜x₂≤1,则

f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=·(x₁-x₂).

    ∵-1≤x₁＜x₂≤1,

    ∴x₁+(-x₂)≠0.

    由已知 ＞0,

    又x₁-x₂＜0,∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x)在［-1,1］上为增函数.

(2)解：∵f(x)在［-1,1］上为增函数，

    故有解得{x|-≤x＜-1}.

(3)解：由(1)可知：f(x)在［-1,1］上是增函数，且f(1)=1，故对x∈［-1,1］,恒有f(x)≤1.

    所以要使f(x)≤t²-2at+1对所有x∈［-1,1］，a∈［-1,1］恒成立，即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立.

    记g(a)=t²-2at，对a∈［-1,1］,g(a)≥0恒成立，只需g(a)在［-1,1］上的最小值大于零.

    故或

    解得t≥2或t≤-2或t=0.

讲评：本题主要考查不等式的解法及其应用，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中，对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切相关.因此要求掌握不等式的基本性质，对各种类型的不等式的解法熟练掌握，提高运算化简能力.