Question

将正弦函数f₁（x）=sinx与余弦函数f₂（x）=cosx线性组合成函数f（x）=Af₁（x）+Bf₂（x） （A，B是常数，x∈R），函数f（x）的图象称（A，B）曲线．
（1）若（A，B）曲线与（C，D）曲线重合，求证：A=C，B=D；
（2）已知点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）且x₁-x₂≠kπ（k∈z），求证：经过点P₁与点P₂的（A，B）曲线有且仅有一条．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意可得Asinx+Bcosx=Csinx+Dcosx对任意x∈R都成立，不妨取x=

π

2

，和x=0代入可得答案；
（2）假设（A，B）曲线经过P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂），则Asinx₁+Bcosx₁=y₁，①，Asinx₂+Bcosx₂=y₂，②，①×cosx₂-②×cosx₁变形可得A值，同理可得B值，可得A、B由P₁与点P₂的坐标唯一确定，既得结论．

解答： 证明：（1）∵Asinx+Bcosx=Csinx+Dcosx对任意x∈R都成立，
不妨取x=

π

2

，代入上式可得A=C，同理取x=0代入可得B=D，
∴A=C，B=D；
（2）假设（A，B）曲线经过P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂），
则Asinx₁+Bcosx₁=y₁，①，Asinx₂+Bcosx₂=y₂，②，
①×cosx₂-②×cosx₁可得Asin（x₁-x₂）=y₁cosx₂-y₂cosx₁，
∵x₁-x₂≠kπ（k∈z），∴Asin（x₁-x₂）≠0，
∴A=

y1cosx2-y2cosx1

sin(x1-x2)

，同理可得B=

y2sinx1-y1sinx2

sin(x1-x2)

，
∴A、B由P₁与点P₂的坐标唯一确定，即经过点P₁与点P₂的（A，B）曲线有且仅有一条

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数公式的综合应用，属中档题．