Question

8．（1）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）对任意非零实数a和b恒成立，求实数x的取值范围．
（2）设函数$f（x）=（2{log_4}x-\frac{1}{2}）$，若f（x）≥mlog₄x对于任意x∈[4，16]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a≠0，由不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）?|2+x|+|2-x|≤$|\frac{b}{a}+2|$+$|\frac{b}{a}-2|$，由于4≤$|\frac{b}{a}+2|$+$|\frac{b}{a}-2|$，即可得出．
（2）由x∈[4，16]，可得log₄x∈[1，2]，而f（x）≥mlog₄x化为m≤$\frac{2lo{g}_{4}x-\frac{1}{2}}{lo{g}_{4}x}$=2-$\frac{1}{2lo{g}_{4}x}$，再利用反比例函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a≠0，∴不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）?|2+x|+|2-x|≤$|\frac{b}{a}+2|$+$|\frac{b}{a}-2|$，
∵4≤$|\frac{b}{a}+2|$+$|\frac{b}{a}-2|$，∴||2+x|+|2-x|≤4，∴x∈[-2，2]．
∴实数x的取值范围是[-2，2]．
（2）∵x∈[4，16]，∴log₄x∈[1，2]，
∴f（x）≥mlog₄x化为m≤$\frac{2lo{g}_{4}x-\frac{1}{2}}{lo{g}_{4}x}$=2-$\frac{1}{2lo{g}_{4}x}$∈$[\frac{3}{2}，\frac{7}{4}]$．
∵f（x）≥mlog₄x对于任意x∈[4，16]恒成立，
∴$m≤\frac{3}{2}$．
∴实数m的取值范围是$m≤\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了含绝对值不等式的性质、对数函数的单调性、反比例函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．