Question

已知函数f（x）=e^x，记P：?x∈R，e^x＜kx+1．
（1）求函数f（x）的图象在点 P（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若P为真，求实数k的取值范围；
（3）若[x]表示不大于x的最大整数，试证明不等式ln

n+1

n

≤

1

n

（n∈N^*），并求S=[

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

]的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f（x）的导数和切线的斜率及切点，运用直线方程的形式即可得到；
（2）令h（x）=e^x-kx-1，求出导数，讨论k，判断单调区间，求得最值，结合不等式成立的条件，即可得到k的范围；
（3）由（2）得k=1，p假，￢p真，即e^x≥x+1对x∈R恒成立，当x+1＞0时，ln（x+1）≤x，令x=

1

n

，即有ln

n+1

n

≤

1

n

，再令x=-

1

n

，即有ln

n

n-1

≥

1

n

，分别累加，再由新定义即可求得S．

解答： （1）解：函数f（x）=e^x的导数为f′（x）=e^x，
在点 P（0，f（0））处的切线斜率为e⁰=1，切点为（0，1），
则切线方程为y=x+1；

（2）解：令h（x）=e^x-kx-1，h′（x）=e^x-k，
当k≤0时，h′（x）=e^x-k＞0，h（x）在R上递增，h（0）=0，x＜0时，h（x）＜0，p为真；
当k＞0时，h′（x）=e^x-k=0，则x=lnk，令h′（x）＞0，则x＞lnk，令h′（x）＜0，则x＜lnk．
则h（x）在（-∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，
当0＜k＜1时，lnk＜0，对x∈（lnk，0），h（x）＜h（0）=0，p为真；
当k＞1时，lnk＞0，对x∈（0，lnk），h（x）＜h（0）=0，p为真；
当k=1时，h（x）最小值h（lnk）=k-klnk-1=0，h（x）≥0，p为假．
综上可得，p真，则k的范围是{k|k∈R且k≠1}；

（3）证明：由（2）得k=1，p假，￢p真，
即e^x≥x+1对x∈R恒成立，当x+1＞0时，ln（x+1）≤x，
令x=

1

n

，即有ln

n+1

n

≤

1

n

，
则

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

≥ln

11

10

+ln

12

11

+ln

13

12

+…+ln

101

100

=ln

101

10

，
再令x=-

1

n

，即有ln

n

n-1

≥

1

n

，
则

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

≤ln

10

9

+ln

11

10

+ln

12

11

+…+ln

100

99

=ln

100

9

，
即有ln

101

10

≤

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

≤ln

100

9

，
又2＜ln

101

10

＜3，2＜ln

100

9

＜3，
则有2＜

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

＜3，
故有S=[

1

10

+

1

11

+

1

12

+…+

1

100

]=2．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，同时考查分类讨论的思想方法，运用构造函数和不等式，结合累加法是解题的关键，属于中档题和易错题．