[题目]冠状病毒是一个大型病毒家族.已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状.发热.咳嗽.气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖.严重急性呼吸综合征.贤衰竭.甚至死亡.核酸检测是诊断新冠� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案:

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混在一起化验；

方案三: 平均分成两组化验.

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.

（1）若，求个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率；

（2）若，现将该例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”?

（3）若对例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）方案二最“优”，理由见解析；（3）.

【解析】

（1）可求得个疑似病例均为阴性的概率，再利用对立事件的概率公式可求得事件“个疑似病例样本混合化验结果为阳性”的概率；

（2）分别计算出方案一、二、三中将该例疑似病例样本进行化验所需次数的数学期望，比较三种方案中检测次数的期望值大小，可得出最“优”方案；

（3）求出方案二的数学期望，可得出关于的不等式，进而可求得实数的取值范围.

（1）由题意可知，个疑似病例均为阴性的概率为，

因此，该混合样本呈阳性的概率为；

（2）方案一：逐个检验，检验次数为；

方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为、，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，方案二的期望为；

方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为，概率为；若呈阳性则检测次数为，概率为.

设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为、、，

，，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，方案三的期望为.

比较可得，故选择方案二最“优”；

（3）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为、，

，，

随机变量的分布列如下表所示：

所以，随机变量的数学期望为，

由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，

可得，即，解得，

故当时，方案二比方案一更“优”.

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