Question

已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为（　　）

A．椭圆的一部分

B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分

D．一条线段

Answer 1

分析：将点P到平面ABC距离与到点A的距离相等转化成在面ABC中点P到A的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．

解答：解：设二面角A-BC-D的平面角为θ，点P到平面BCD的距离为|PH|，点P到定直线CB的距离为d，则|PH|=dsinθ
∵点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等
∴dsinθ=|PA|
∴

|PA|

d

=sinθ＜1
即在平面ABC中，点P到定点A的距离与定直线BC的距离之比是一个小于1的常数sinθ，
由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面ABC内的一部分．
故选A．

点评：本题主要考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是将点P到平面ABC距离与到点A的距离相等转化成在面ABC中点P到A的距离与到定直线BC的距离比是一个常数．