Question

20．已知幂函数$y=（{{m^2}-m-1}）{x^{{m^2}-2m-\frac{1}{3}}}$，当x∈（0，+∞）时为减函数，则该幂函数的解析式是${x}^{-\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 根据幂函数的定义，令m²-m-1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈（0，+∞）上为减函数即可．

解答 解：∵幂函数y=（m²-m-1）x^{m2-2m-$\frac{1}{3}$}，
∴m²-m-1=1，
解得m=2，或m=-1；
又x∈（0，+∞）时y为减函数，
∴当m=2时，m²-2m-$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$，幂函数为y=x^-$\frac{1}{3}$，满足题意；
当m=-1时，m²-2m-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，幂函数为y=${x}^{\frac{2}{3}}$，不满足题意；
综上，幂函数y=x^-$\frac{1}{3}$．
故答案为：${x}^{-\frac{1}{3}}$．

点评 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．