Question

已知函数f(x)=

1

x -1

．
（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明；
（2）求当x∈[3，5]时 f（x） 的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（1，+∞）上单调性，
（2）利用函数的单调性求函数的值域即可．

解答：解：（1）函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．
证明：在（1，+∞）任意设两个变量x₁＜x₂，且1＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．
（2）∵函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴函数f（x）在[3，5]上单调递减．
∴f（5）≤f（x）≤f（3），
即

1

4

≤f（x）≤

1

2

，
则函数f（x） 的值域为[

1

4

，

1

2

]．

点评：本题主要考查函数单调性的应用以及值域的求法，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．