Question

设x∈（0，

π

2

），则下列所有正确结论的序号为

②⑥

．
①sinx＜

2

π

x；②sinx＞

2

π

x；③sinx＜

3

π

x；④sinx＞

3

π

x；⑤sinx＜

4

π2

x²； ⑥sinx＞

4

π2

x²．

Answer 1

分析：根据选项①②③④的结构特点，可构造函数f（x）=

sinx

x

，利用导数研究函数的单调性，从而得到结论，根据选项⑤⑥的结构特点，构造函数h（x）=

sinx

x2

，再利用导数研究函数的单调性，从而得到结论．

解答：解：令f（x）=

sinx

x

，则f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
令g（x）=xcosx-sinx，则g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，

π

2

），
∴g′（x）＜0，则g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，
∴f（x）＞f（

π

2

）=

π

2

，即

sinx

x

＞

π

2

，sinx＞

2

π

x，故①正确；
当x∈（0，

π

3

]时，f（x）≥f（

π

3

）=

3

π

，即sinx≥

3

π

x，
当x∈（

π

3

，

π

2

）时，f（x）＜f（

π

3

）=

3

π

，即sinx＜

3

π

x，
故③④都不正确；
令h（x）=

sinx

x2

，则h′（x）=

x(xcosx-2sinx)

x4

，
令m（x）=xcosx-2sinx，则m′（x）=cosx-xsinx-2cosx=-xsinx-cosx，
∵x∈（0，

π

2

），
∴m′（x）＜0，则m（x）＜m（0）=0，
∴h′（x）＜0，即函数h（x）在（0，

π

2

）上单调递减，
∴h（x）＞h（

π

2

）=

4

π2

，即

sinx

x2

＞

4

π2

，sinx＞

4

π2

x²，故⑥正确；
故答案为：②⑥．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及构造函数的方法，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．