Question

已知(

x

+

1

3x2

)n(n∈N*)的展开式中，第5项的二次式系数与第3项的系数之比是3：2．
（1）求n的值；
（2）若展开式中各项的系数和为S，各项的二项式系数和为T，求

S

T

的值．

Answer 1

分析：（1）由展开式的通项可得二项展开式的第3项的系数为

1

9

C

2 n

，第5项的二项式系数为C_n⁴，代入已知可求n
（2）利用赋值法，令x=1可得各项系数之和S，由二项式的性质可得二项式系数之和T=2ⁿ，结合（1）所求的n，代入可求

S

T

解答：解：（1）由题意可得二项展开式的第3项为：T3=

C

2 n

x

n-2(

1

3x2

)2
∴第3项的系数为

1

9

C

2 n

∵

C 4 n

C 2 n 9

=

3

2

  解可得，n=4
（2）利用赋值法，令x=1可得各项系数之和S=(

4

3

)4=

256

81

由二项式的性质可得二项式系数之和T=2⁴=16
∴

S

T

=

256

81×16

=

16

81

点评：本题主要考查了二项展开式的通项，展开式的系数之和及二项式系数之和的应用，解题时要注意区别二项式系数之和（2ⁿ），与各项系数之和（一般利用赋值法求解）的不同，不要混淆，另外在通项中要注意r=4时是第5项．