Question

已知F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点M满足，                                      
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）设，过椭圆的右顶点的直线l与椭圆交于点D（点D不同于点C），交y轴于点P（点P不同于坐标原点O），C直线AD与BC交于点Q.当a取最小值时，判断是否为定值，并证明你的结论.

Answer 1

解：（Ⅰ）设点M的坐标为，
则，，
由，得 ①
又由点M在椭圆上，得，代入①，
得，即.
∴0≤≤，
∴0≤≤，,.
（Ⅱ）当a取最小值时，椭圆方程为，其右顶点为.
设直线，则点P的坐标为.
联立直线CD和椭圆的方程有：，
由韦达定理有：，
设点Q的坐标为，直线BC的方程为：，A、Q、D三点共线，
则有，
又，故上式为，
将代入得：,
则，
即当a取最小值时，为定值1.