Question

对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．
（1）写出曲线（x-1）²+y²=4的界域；
（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；
（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得（x-1）²≤4，y²≤4，由此能求出曲线（x-1）²+y²=4的界域．
（2）设P（x，y），则

x2+y2

+|x-1|=3，从而得到-1≤x≤2，-2

2

≤y≤2

2

，由此得到曲线M为有界曲线，并能求出求出其界域．
（3）由已知得：

(x-1)2+y2

×

(x+1)2+y2

=a，

x2-2x+1+y2

×

x2+2x+1+y2

=a，从而得到|x|≤

a+1

，y2=

4x2+a2

-(x2+1)，进而得到|y|≤

a-1

，由此能求出曲线C界域．

解答： 解：（1）∵曲线（x-1）²+y²=4，
∴（x-1）²≤4，y²≤4，
∴-1≤x≤3，-2≤y≤2，
∴界域为{（x，y）||x|≤3，|y|≤2}．
（2）设P（x，y），则

x2+y2

+|x-1|=3，
化简，得：y²=

4x+4，-1≤x≤1 16-8x，1≤x≤2

，
∴-1≤x≤2，-2

2

≤y≤2

2

，
∴界域为{（x，y）||x|≤2，|y|≤2

2

}．
（3）由已知得：

(x-1)2+y2

×

(x+1)2+y2

=a，

x2-2x+1+y2

×

x2+2x+1+y2

=

(x2+y2+1)2-4x2

=a，
∴（x²+y²+1）²-4x²=a²，∴y2=

4x2+a2

-(x2+1)，
∵y²≥0，∴

4x2+a2

≥x2+1，∴（x²+1）²≤4x²+a²，
∴（x²-1）²≤a²，∴1-a≤x²≤a+1，∴|x|≤

a+1

，
y2=

4x2+a2

-(x2+1)，
令t=

4x2+a2

，x2=

t2-a2

4

，
y2=t-(

t2-a2

4

+1)=-

1

4

(t-2)2+

a2

4

≤

a2

4

，
当t=2，即x2=1-

a2

4

时，等号成立．
若0＜a≤2，1-

a2

4

∈[1-a，1+a]，x2=1-

a2

4

时，ymin2=

a2

4

，
∴|y|≤

a

2

，
若a＞2，1-

a2

4

＜0，x2≠1-

a2

4

，∴x=0时，ymax2=a-1，
∴|y|≤

a-1

，∴曲线C界域为：
①0＜a≤2时，{（x，y）|x|≤

a+1

，|y|≤

a

2

}．
②a＞2时，{（x，y）||x|≤

a+1

，|y|≤

a-1

}．

点评：本题考查曲线的界域的求法，考查曲线是否为有界曲线的判断与界域的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．