Question

已知函数f（x）=x+

m

x

，且此函数的图象过点（1，5）．
（1）求实数m的值，并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[1，2]上的单调性，并用单调性定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将点（1，5）带入函数f（x）解析式即可得到m，求f（x）的定义域，判断f（-x）和f（x）的关系，从而判断该函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义，设x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂，然后通过作差判断f（x₁）与f（x₂）的关系即可得出f（x）在[1，2]上的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）过点（1，5），∴1+m=5，m=4；
∴f（x）=x+

4

x

，该函数定义域为{x|x≠0}；
f(-x)=-x+

4

-x

=-f(x)；
∴f（x）为奇函数；
（2）设x₁，x₂∈[1，2]且x₁＜x₂，则：

f(x1)-f(x2) =x1+ 4 x1 -x2- 4 x2 =(x1-x2)+ 4(x2-x1) x1x2 = (x1-x2)(x1x2-4) x1x2

∵x₁，x₂∈[1，2]且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，2]上单调递减．

点评：考查函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，函数奇偶性的定义及判断方法，以及利用单调性的定义判断并证明函数的单调性．