Question

【题目】已知直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0，A、B两点极坐标分别为（1，π）、（1，0）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上取一点P，求|AP|2+|BP|2的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0，

把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得C的直角坐标方程：x2+y2﹣4y+3=0，

配方为x2+（y﹣2）2=1，

可得参数方程： （α为参数）

（2）解：A、B两点极坐标分别为（1，π）、（1，0），

分别化为直角坐标：（﹣1，0），（1，0）．

令P（cosα，2+sinα），

则|AP|2+|BP|2=（cosα+1）2+（2+sinα）2+（cosα﹣1）2+（2+sinα）2=8sinα+12，

当sinα=﹣1时，有最小值4；当sinα=1时，有最大值20

【解析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0，把ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ代入可得C的直角坐标方程，配方可得参数方程．（2）A、B两点极坐标分别为（1，π）、（1，0），分别化为直角坐标：（﹣1，0），（1，0）．令P（cosα，2+sinα），则|AP|2+|BP|2=8sinα+12，利用sinα的值域即可得出最值．