Question

6．记△ABC的三个内角分别为A，B，C，设$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，已知$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=6，且6（2-$\sqrt{3}$）≤|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{BC}$|sin（π-θ）≤6$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求tan15°的值和角θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=$\frac{1-\sqrt{2}cos（2θ-\frac{π}{4}）}{sinθ}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角差的正切公式求得tan15°的值，由题意利用两个向量的数量积的定义求得（2-$\sqrt{3}$）≤tanθ≤$\sqrt{3}$，由此求得θ的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（θ）的解析式，再利用正切函数、正弦函数的定义域和值域，求得它的最大值

解答 解：（Ⅰ）tan15°=tan（60°-45°）=$\frac{tan60°-tan45°}{1+tan60°tan45°}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}•1}$=2-$\sqrt{3}$．
△ABC中，∵$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，θ∈[0，π），
∵$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=6，∴AB•BC•cosθ=AB•BC•cosθ=6．
根据6（2-$\sqrt{3}$）≤|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{BC}$|sin（π-θ）≤6$\sqrt{3}$，可得6（2-$\sqrt{3}$）≤AB•BC•sinθ≤6$\sqrt{3}$，
即6（2-$\sqrt{3}$）≤$\frac{6sinθ}{cosθ}$≤6$\sqrt{3}$，即（2-$\sqrt{3}$）≤tanθ≤$\sqrt{3}$，$\frac{π}{12}$≤θ≤$\frac{π}{3}$，即θ∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]．
（Ⅱ）函数f（θ）=$\frac{1-\sqrt{2}cos（2θ-\frac{π}{4}）}{sinθ}$=$\frac{1-（cos2θ+sin2θ）}{sinθ}$=$\frac{{2sin}^{2}θ-2sinθcosθ}{sinθ}$=2（sinθ-cosθ）=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），
∵θ∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，∴θ-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，故当θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{12}$时，
函数f（θ）取得最大值为2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{12}$=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查两角差的正切公式，两个向量的数量积的定义，正切函数、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．