Question

等比数列{a_n}的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项．
（1）求公比q；
（2）若{a_n}的前n项和为S_n，判断S₃，S₉，S₆是否成等差数列，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题已知等比数列的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项，故直接建立起关于公比的方程，通过解方程求公比即可．
（2）用首项与公比表示出S₃，S₉，S₆，直接验证三者是否符合等差数列的性质即可．

解答：解：（1）由题可知，2a₈=a₂+a₅，
即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
由于a₁q≠0，化简得2q⁶=1+q³，即2q⁶-q³-1=0，
解得q³=1或q3=-

1

2

．所以q=1或q=-

3 4

2

．
（2）当q=1时，不能构成等差数列，当当q=-

3 4

2

即q3=-

1

2

时，三都可以构成等差数列，证明如下：
当q=1时，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁．
易知S₃，S₉，S₆不能构成等差数列．
当q=-

3 4

2

即q3=-

1

2

时，S3=

a1(1-q3)

1-q

=

a1

1-q

(1+

1

2

)=

3

2

•

a1

1-q

，S9=

a1(1-q9)

1-q

=

a1

1-q

[1-(-

1

2

)3]=

9

8

•

a1

1-q

，
S6=

a1(1-q6)

1-q

=

a1

1-q

[1-(-

1

2

)2]=

3

4

•

a1

1-q

．
验证知S₃+S₆=2S₉，所以S₃，S₉，S₆能构成等差数列．

点评：本题考查等比数列的通项公式以及其前n项和公式以及等差数列的性质，属于数列知识基本运用题，基础题型，解答本题要注意式的灵活变形尤其是因式分解的技巧．