Question

已知函数f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值，及取最小值时x的值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的三角函数公式与辅助角公式，化简得f（x）=2sin(2x-

π

6

)-2，根据正弦函数的最小值为-1，结合正弦函数的图象可得当x=kπ-

π

6

（k∈Z）时，f（x）的最小值为-4；
（2）根据f（x）的解析式化简f（C）=0，解出C=

π

3

．由sinB=2sinA利用正弦定理算出b=2a，再根据余弦定理
c²=a²+b²-2abcosC，列出关于a、b的方程，解之即可得出a、b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1=

3 sin2x-(2cos2x-1)-2

=

3 sin2x-cos2x-2=2(sin2xcos π 6 -cos2xsin π 6 )-2=2sin(2x- π 6 )-2

∴当sin（2x-

π

6

）=-1时，f（x）的最小值是-4，
此时2x-

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），
解之得x=kπ-

π

6

（k∈Z）．
综上所述，函数f（x）的最小值为-4，取最小值时x的值为x=kπ-

π

6

（k∈Z）；
（2）∵f（x）=2sin(2x-

π

6

)-2，
∴f（C）=

2sin(2C- π 6 )-2

=0，
解得sin(2C-

π

6

)=1．
∵0＜C＜π，可得-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

．
又∵c=

3

，sinB=2sinA，结合正弦定理得b=2a，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
可得3=a²+（2a）²-2×a×2acos

π

3

化简得a²=1，
解得a=1．由此可得a=1且b=2．

点评：本题给出三角函数的表达式，求函数的最小值与相应的x值，并依此解△ABC．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．