Question

（2013•菏泽二模）下列命题：
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜log_a2＜log_b2，则a＞b＞1；
③已知a，b∈R^*，2a+b=1，则

2

a

+

1

b

有最小值8；
④已知向量a=（1，2），b=（2，0），若向量λa+b与向量c=（1，-2）共线，则实数λ等于-1．
其中，正确命题的序号为

①②④

．

Answer 1

分析：①全称命题的否定是特称命题；
②底数大于0的对数函数，底数越大越靠近X轴；
③所求式子乘以1，而1用2a+b代换；
④向量λa+b的坐标表示可得，又由共线的充要条件x₁y₂-x₂y₁=0，得到关于实数λ的方程，解出即可．

解答：解：①命题“?x∈R，cosx＞0”是全称命题，由于全称命题的否定是特称命题，故其否定是“?x∈R，cosx≤0”，则命题①正确；
②由于log_a2＞0，log_b2＞0，则a＞1，b＞1，又由log_a2＜log_b2，则a＞b＞1，故命题②正确；
③由于a，b∈R^*，2a+b=1，则

2

a

+

1

b

=(

2

a

+

1

b

)(2a+b)=5+

2b

a

+

2a

b

≥5+2

2b a × 2a b

=9，当且仅当

b

a

=

a

b

时，取等号
又由2a+b=1，则a=b=

1

3

时，取等号，故③错误；
④由于向量

a

=（1，2），

b

=（2，0），则向量λ

a

+

b

=(λ+2，2λ)，
又由向量λ

a

+

b

与向量

c

=（1，-2）共线，则-2（λ+2）-2λ=0，解得λ=-1，故④正确．
故答案为①②④．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论．