Question

9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数．
（1）求φ的值．
（2）若f（x）图象上的点关于M（$\frac{3}{4}$π，0）对称．
①求ω满足的关系式；
②若f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是偶函数，可得sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），从而解得ϕ的值．
（2）图象关于点M（ $\frac{3}{4}$π，0）对称，可得函数关系f（$\frac{3}{4}$π-x）=-f（$\frac{3}{4}$π+x），可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．

解答 解：（1）由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ=$\frac{π}{2}$，
（2）①由f（x）的图象关于点M对称，得f（$\frac{3}{4}$π-x）=f（$\frac{3}{4}$π+x），
取x=0，得f（$\frac{3}{4}$π）=sin（$\frac{3ωπ}{4}$+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{3ωπ}{4}$，
∴f（$\frac{3}{4}$π）=sin（$\frac{3ωπ}{4}$+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{3ωπ}{4}$，
∴cos$\frac{3ωπ}{4}$=0，
又w＞0，得$\frac{3ωπ}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=$\frac{2}{3}$（2k+1），k=0，1，2，…
②由于ω=$\frac{2}{3}$（2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω=$\frac{2}{3}$，f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x，在[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=$\frac{10}{3}$，f（x）=sin（$\frac{10}{3}$x+$\frac{π}{2}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上不是单调函数；
所以，综合得ω=$\frac{2}{3}$或2．

点评 本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，属于中档题．