Question

将如图1的直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示．
（I）证明：直线BE∥平面ADF；（文理均做）
（II）（理）求面FBE与面ABCD所成角的正切值．
（文）求证：平面BDF⊥ACF．

Answer 1

（I）证明：取PD的中点N，连接EN，
∵EC⊥CD，ND⊥CD，CE=DN，∴四边形CDNE为正方形，
∴EN∥CD∥AB，EN=CD=AB
∴四变形ABNE为平行四边形，∴BE∥AN，∵AN?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
（II）（理）延长PE交CD于M，∴平面FBE∩平面ABCD=BM，连接BD
∵CE∥PD，CE=PD，
∴BC=DC=CM=1，BD=，BM=，DM=2
∴BD⊥BM，∵FD⊥平面ABCD，
由三垂线定理得PB⊥BM
∴∠FBD为二面角F-BM-D的平面角
在Rt△FBD中，FD=2，BD=
∴tan∠FBD==．
∴面FBE与面ABCD所成角的正切值为
（文）连接AC，在正方形ABDC中AC⊥BD，又∵FD⊥AD，FD⊥CD，
∴FD⊥平面ABDC，∴FD⊥AC，
∵FD∩BD=D，
∴AC⊥平面FBD，∵AC?平面ACF，
∴平面BDF⊥平面ACF．
分析：对（I）证线面平行可通过证线线平行（取FD中点N，连接AN，证AN∥BE）来证；也可通过证面面平行（平面BCE∥平面FAD）来证．
对（II）（理）根据三垂线定理作二面角的平面角，即作出平面与平面的交线，射影垂直可得斜线垂直；再在△中求解即可．
对（II）（文），根据线面垂直?面面垂直，只需证AC垂直于平面FBD即可．
点评：几何中的折叠问题，首先要分析折叠前、后的位置关系、几何量的变与不变，画好图形，正确识图是关键；另外解决空间问题的基本思路是利用转化思想，一是空间问题?平面几何问题，二是平行、垂直关系中线线?线面?面面．