Question

定义函数f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，2ⁿ]（n∈N^*）内的所有零点的和为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．

解答： 解：当1≤x≤

3

2

时，f（x）=8x-8，
所以g（x）=8（x-

1

2

）2-8，此时当x=

3

2

时，g（x）_max=0；
当

3

2

＜x≤2时，f（x）=16-8x，所以g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）_max=0．
下面考虑2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）的最大值的情况．
当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，由函数f（x）的定义知f（x）=

1

2

f（

x

2

）=…=

1

2n-1

f（

x

2n-1

），
因为1≤

x

2n-1

≤

3

2

，
所以g（x）=

1

22n-5

（x-2n-2）2-8，
此时当x=3•2^n-2时，g（x）_max=0；
当3•2^n-2≤x≤2ⁿ时，同理可知，g（x）=-

1

22n-5

（x-2n-1）2+8＜0．
由此可得2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）_max=0．
综上可得：对于一切的n∈N^*，函数g（x）在区间[2^n-1，2ⁿ]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2ⁿ]上有n个零点，且这些零点为x_n=3•2^n-2，因此，所有这些零点的和为

3

2

(2n-1)．
故答案为：

3

2

(2n-1)．

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．