Question

5．已知sinα=$\frac{1}{3}$，α$∈（0，\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）求cos2α的值；
（Ⅱ）求sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值；
（Ⅲ）求tan2α的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）∵已知$sinα=\frac{1}{3}$，$α∈（0，\;\;\frac{π}{2}）$，∴$cos2α=1-2{sin^2}α=\frac{7}{9}$．
（Ⅱ）由于$cosα=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，所以，$sin2α=2sinαcosα=\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$，
∴$sin（2α+\frac{π}{3}）=sin2αcos\frac{π}{3}+cos2αsin\frac{π}{3}=\frac{{4\sqrt{2}}}{9}\frac{1}{2}+\frac{7}{9}\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{4\sqrt{2}+7\sqrt{3}}}{18}$．
（Ⅲ）∵$tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．