Question

1．函数f（x）=x²-2x+2在区间[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式及其最值．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论t的范围，确定函数的单调性，从而求出g（t）的表达式，画出g（t）的图象，得到最值即可．

解答 解：函数f（x）的对称轴是x=1，
∴函数f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
①当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]单调递减，
g（t）=f（x）_min=f（t+1）=t²+1，
②1＜t+1＜2，即0＜t＜1时，f（x）在[t，1）递减，在（1，t+1]递增，
∴g（t）=f（x）_min=f（1）=1，
③t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴g（t）=f（x）_min=f（t）=t²-2t+2，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1，（t≤0）}\\{1，（0＜t＜1）}\\{{t}^{2}-2t+2（t≥1）}\end{array}\right.$，
画出函数g（t）的图象，如图示：
∴g（t）的最小值是1，无最大值．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．