Question

设F₁，F₂分别是椭圆(a＞b＞0)的左，右焦点．

(1)当a＝2b，点P在椭圆上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|·|PF₂|＝2时，求椭圆方程；

(2)对于(1)中的椭圆，若直线x＝t(t≠0)分别交椭圆于P，Q两点，设椭圆的长轴顶点分别为A₁，A₂求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹方程；

(3)过(2)中轨迹的一个焦点作直线与轨迹交于A，B两点，若|AB|＝4，这样的直线能作几条？并证明你的结论？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵a＝2b，a2＝b2＝c2，∴c2＝3b2．又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＝|PF2|2＝(2C)2＝12b2． 　　由椭圆定义可知|PF1|＝|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＝|PF2|)2＝12b2＝4＝16b2，从而得b2＝1，a2＝4，椭圆方程为． 　　(2)由题意得：A1(－2，0)，A2(2，0)，P(t，)，Q(t，－)， 　　得A1P方程y＝(x＝2)，A2Q方程y＝－(x－2)，两式相乘得y2＝(x2－4) 　　得(y0)(3)答：能作三条． 　　证明：过双曲线左焦点F(－，0)，当直线垂直x轴时|AB|＝1＜4，故直线不垂直于x轴．设直线y＝k(x＝)，代入双曲线方程消去y并整理得 　　 　　AB＝ 　　解得k＝0，k＝，故有三条．