Question

已知关于x的不等式：-x²+3x＞|a（x-1）|．
（1）若a=1，求不等式的解集；
（2）若不等式只有一个整数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若a=1，不等式可化为-（-x²+3x）＜x-1＜-x²+3x，解这个一元二次不等式组即可
（2）若不等式只有一个整数解，则这个解一定在（0，3）范围内，从而确定此方程的整数解，代入不等式即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵a=1，∴不等式可化为-（-x²+3x）＜x-1＜-x²+3x，∴

2- 3 ＜x＜2+ 3 1- 2 ＜x＜1+ 2

，
∴原不等式的解集为(2-

3

，1+

2

)
（2）∵-x²+3x＞|a（x-1）|≥0⇒x²-3x＜0⇒0＜x＜3，
又此不等式只有一个整数解且x=1时显然不满足题意，
故只有x=2这唯一正整数解，将x=2代入不等式中解得|a|＜2，且可知a=0时不满足题意，
∴a的取值范围为（-2，0）∪（0，2）

点评：本题考查了绝对值不等式、一元二次不等式的解法，利用推理验证的方法求不等式的整数解