Question

已知函数f（x）=

a

x+1

+lnx（a∈R）
（1）当a=2时，比较f（x）与1的大小；
（2）当a=

9

2

时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（3）求证：对于一切正整数n，都有ln（n+1）＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=2时，f(x)=

2

x+1

+lnx，其定义域为（0，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．
（2）利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，转化为函数y=f（x）与函数y=k的图象有且仅有一个交点即可．
（3）方法一：根据（1）的结论知当x＞1时，f（x）＞1．即当x＞1时，

2

x+1

+lnx＞1，即lnx＞

x-1

x+1

，
令x=

k+1

k

，则有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，再利用“累加求和”及对数的运算性质即可得出．
方法二：利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）当a=2时，f(x)=

2

x+1

+lnx，其定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=

-2

(x+1)2

+

1

x

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故当x＞1时，f（x）＞f（1）=1；
当x=1时，f（x）=f（1）=1；
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=1．
（2）当a=

9

2

时，f(x)=

9

2(x+1)

+lnx，其定义域为（0，+∞），
f′(x)=

-9

2(x+1)2

+

1

x

=

(2x-1)(x-2)

2x(x+1)2

，
令f′（x）=0得x1=

1

2

，x₂=2，
∵当0＜x＜

1

2

或x＞2时，f′（x）＞0；当

1

2

＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在(0，

1

2

)上递增，在(

1

2

，2)上递减，在（2，+∞）上递增．
且f（x）的极大值为f(

1

2

)=3-ln2，极小值为f(2)=

3

2

+ln2．
又当x→0⁺时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞．
∵函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，
∴函数y=f（x）的图象与直线y=k仅有一个交点．
∴k＞3-ln2或k＜

3

2

+ln2．
（3）方法一：根据（1）的结论知当x＞1时，f（x）＞1．
即当x＞1时，

2

x+1

+lnx＞1，即lnx＞

x-1

x+1

，
令x=

k+1

k

，则有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，
从而得ln

2

1

＞

2

3

，ln

3

2

＞

1

5

，ln

4

3

＞

1

7

，…，ln

n+1

n

＞

1

2n+1

．
故得ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

，
即ln(

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

∴ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

．
方法二：用数学归纳法证明：①当n=1时，不等式左边=ln2，右边=

1

3

因为3ln2=ln8＞1，所以ln2＞

1

3

，即n=1时，不等式成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即ln(k+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2k+1

那么，当n=k+1时，ln(n+1)=ln(k+2)=ln[(k+1)•

k+2

k+1

]=ln(k+1)+ln

k+2

k+1

＞(

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2k+1

)+ln

k+2

k+1

，
由（1）的结论知，当x＞1时，lnx+

2

x+1

＞1，即lnx＞

x-1

x+1

∴ln

2k-1

2k+1

＞

k+2 k+1 -1

k+2 k+1 +1

=

1

2k+3

即ln(k+2)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2k+1

+

1

2(k+1)+1

即当n=k+1时，不等式也成立．
综合①②知，对于一切正整数n，都有ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

．

点评：本题考查了利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值、“累加求和”及对数的运算性质、数学归纳法证明数列不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．