Question

（本小题满分12分）
已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有．

Answer 1

略

（Ⅰ）证法1：∵当
即 于是有 
所有不等式两边相加可得 
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由   知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则

即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得 
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有