Question

【题目】设点P在曲线y= ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵函数y= ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称 函数y= ex上的点P（x， ex）到直线y=x的距离为d=
设g（x）= ex﹣x，（x＞0）则g′（x）= ex﹣1
由g′（x）= ex﹣1≥0可得x≥ln2，
由g′（x）= ex﹣1＜0可得0＜x＜ln2
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，dmin=
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dmin= ．
故答案为： ．
由于函数y= ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y= ex上的点P（x， ex）到直线y=x的距离为d= ，设g（x）= ex﹣x，求出g（x）min=1﹣ln2，即可得出结论．