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精英家教网(选修4-1,几何证明选讲)已知O为△ABC外接圆的圆心,AE是圆的直径,AD⊥BC,BF⊥AC,D,F为垂足,AD、BF相交于点H,OP⊥AB,垂足为P.
(1)求证:AB•AC=AE•AD;
(2)求证:CH=2OP.
分析:(1)利用AE是直径,可得AB⊥BE,再利用AD⊥BC,∠AEB=∠ACD即可证明Rt△ABE∽Rt△ADC,进而证得结论.
(2)先利用CE⊥AC以及BH⊥AC,得BH∥CE,进而得BH⊥AC,AH⊥BC,证得H为△ABC的垂心,再利用CH⊥AB,EB⊥AB得四边形BECH为平行四边形?CH=BE,最后利用OP⊥AB,EB⊥AB,得OP∥BE,再利用O为AE的中点即可证明结论.
解答:证明:(1)连接BE,
因为AE是直径,所以AB⊥BE,
又AD⊥BC,∠AEB=∠ACD,
所以Rt△ABE∽Rt△ADC.
AB
AD
=
AE
AC
,∴AB•AC=AE•AD.
(2)连接CE,则CE⊥AC,又BH⊥AC,∴BH∥CE.
∵BH⊥AC,AH⊥BC,所以H为△ABC的垂心.
CH⊥AB,EB⊥AB,∴BE∥CH
所以四边形BECH为平行四边形,∴CH=BE.
∵OP⊥AB,EB⊥AB,∴OP∥BE.
又O为AE的中点.∴OP=
1
2
BE,∴OP=
1
2
CH.
∴CH=2OP.
点评:一般在证明线段之间的乘积关系时,其常用方法是利用相似三角形的性质来证明.
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的中点.求证:
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(2)∠FAE=∠FAD.

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