Question

已知抛物线的方程为y²=4x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且M（4，0），MA⊥MB，求S_△MAB．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，y₁y₂=-4，由MA⊥MB，求得k值，进而由S_△MAB=

1

2

|MF||y₁-y₂|求得．

解答： 解：∵抛物线的方程为y²=4x，∴F（1，0），设焦点弦方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入抛物线方程得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，y₁y₂=-4
∵MA⊥MB，

MA

=（x₁-4，y₁），

MB

=（x₂-4，y₂），
∴

MA

•

MB

=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂=13-4×

2k2+4

k2

=0，∴k²=

16

5

，
又(y1-y2)2=4（x₁+x₂）-2y₁y₂=4×

2k2+4

k2

+8=21，∴|y₁-y₂|=

21

，
∴S_△MAB=

1

2

|MF||y₁-y₂|=

1

2

×3×

21

=

3 21

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．