Question

14．设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：|S_k|≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）数列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$为三阶期待数列，数列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$为四阶期待数列．
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，可得a₁₀₀₇=0，a₁₀₀₈=d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅲ）当k=n时，显然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；当k＜n时，根据条件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）数列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$为三阶期待数列，
数列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$为四阶期待数列．
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，
∵a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，∴$\frac{2013（{a}_{1}+{a}_{2013}）}{2}$=0，
∴a₁+a₂₀₁₃=0，即a₁₀₀₇=0，
∴a₁₀₀₈=d，
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a₁₀₀₈+a₁₀₀₉+…+a₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$，
∴1006d+$\frac{1006×1005}{2}$d=$\frac{1}{2}$，即d=$\frac{1}{1006×1007}$，
∴a_n=a₁₀₀₇+（n-1007）d=$\frac{n-1007}{1006×1007}$（n∈N^*，n≤2013），
当d＜0时，同理可得a_n=$\frac{-n+1007}{1006×1007}$，（n∈N^*，n≤2013）．
（Ⅲ）当k=n时，显然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；
当k＜n时，根据条件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+…+|a_n|=1，
∴|S_k|$≤\frac{1}{2}$（k=1，2，…，n）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．