Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=61，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，求S_△ABC．

Answer 1

分析 由已知等式展开可以得到两个向量的数量积，利用数量积公式求得cosB，进一步求sinB，利用三角形的面积公式求面积．

解答 解：因为|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=61，所以$4{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=61，即64-27-4×4×3×cos（180°-B）=61，所以cosB=$\frac{1}{2}$，所以sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以求S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC×sinB$=$\frac{1}{2}×4×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的运算、数量积公式的运用以及三角形面积的求法；关键是由已知求出角B．