Question

某市芙蓉社区为了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．

分数	频数	频率
（0，0.5）	5	0.05
[0.5，1）	8	0.08
[1，1.5）	22	0.22
[1.5，2）		a
[2，2.5）	20	0.20
[2.5，3）	12	0.12
[3，3.5）	b
[3.5，4]

（Ⅰ）分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；
（Ⅱ）设A₁，A₂，A₃是月用水量为[0，2）的家庭代表．B₁，B₂是月用水量为[2，4]的家庭代表．若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表B₁，B₂至少有一人被选中的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据频率直方图的高为频率与组距的比，计算出a；根据频率=求得b；再根据频率分布表求家庭月用水量不超过3吨的频率即可；
（II）根据古典概型的计算公式，先求五代表中任选2人的所有情况（事件），再求B₁、B₂至少有一人被选中的情况（事件），代入公式计算即可．
解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得a=0.5×0.5=0.25，
∴月用水量为[1.5，2）的频数为25．
故2b=100-92=8，得b=4．
由频率分布表可知，月用水量不超过3吨的频率为0.92，
所以，家庭月用水量不超过3吨的频率约为0.92．                
（Ⅱ）由A₁、A₂、A₃、B₁、B₂五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂）．
记“B₁、B₂至少有一人被选中”的事件为A，事件A包含的基本事件为：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
共包含7个基本事件数．
又基本事件的总数为10，所以．
即家庭代表B₁、B₂至少有一人被选中的概率为．
点评：本题考查频率分布直方图及古典概型的概率计算．