Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆C的方程为 （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．
（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；
（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于 时，求C上到直线l距离为2 的点的坐标．

Answer 1

【答案】解：（I）圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2， ∴圆心坐标为（1，1），半径r= ．
m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．
∴圆心C到直线l的距离d= = ＜r．
∴直线l与圆C相交．
（II）直线l的普通方程为x+y﹣m=0．
∵C上有且只有一点到直线l的距离等于 ，
∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为 ．
∴圆C上到直线l的距离等于2 的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．
∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为： （t为参数）．
将： （t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，
∴t1= ，t2=﹣ ．
当t= 时， ，当t=﹣ 时， ．
∴C上到直线l距离为2 的点的坐标为（0，2），（2，0）
【解析】（I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2 ，故到直线l的距离等于2 的点在过圆心且与直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标．