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已知函数.
(1)函数的零点从小到大排列,记为数列,求的前项和
(2)若上恒成立,求实数的取值范围;
(3)设点是函数图象的交点,若直线同时与函数的图象相切于点,且
函数的图象位于直线的两侧,则称直线为函数的分切线.
探究:是否存在实数,使得函数存在分切线?若存在,求出实数的值,并写出分切线方程;若不存在,请说明理由.

(1);(2);(3)当时,函数存在分切线,为直线.

解析试题分析:本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识;考查运算求解能力、等价转化能力;考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法.第一问,先解三角方程,零点值构成等差数列,利用等差数列的通项公式,求和公式求;第二问,先将恒成立转化为,利用导数判断函数的单调性,求出最大值,得到a的取值范围;第三问,将函数存在分切线转化为“”或“”在 上恒成立,结合(1)(2)判断是否符合题意,再进行证明.
试题解析:(1)∵ ∴ ∴.      1分
,                      2分
.                             4分
(2)∵上恒成立,
上恒成立.                   5分
,  ∴,           6分
单调递增,单调递减,单调递增,单调递增,
的极大值为
的最大值为,    ∴ .               8分
(3)若函数存在分切线,则有“”或“”在 上恒成立,
∵当时,
,使得,   ∴不恒成立.
∴只能是上恒成立.                        9分
∴由(2)可知, ∵函数必须存在交点, ∴.      10分
时,函数的交点为,∵
∴存在直线在点处同时与

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