Question

14．已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求h（x）的定义域；
（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若a=log₃27+log${\;}_{\frac{1}{2}}$2，求使f（x）＞1成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）根据对数的定义得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，求解即可得出定义域．
（2）先判断定义域关于原点对称，利用定义h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x），判断即可．
（3）了；利用对数的运算得出即log₂（1+x）＞log₂2，再根据对数函数的单调性得出1+x＞2，即可求解不等式．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1．
∴h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（-1，1）；
（2）∵对任意的x∈（-1，1），-x∈（-1，1）
h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x），
∴h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）是奇函数；
（3）由a=log₃27+log${\;}_{\frac{1}{2}}$2，得a=2．
f（x）=log_a（1+x＞1，即log₂（1+x）＞log₂2，
∴1+x＞2，即x＞1．
故使f（x）＞1成立的x的集合为{x|x＞1}

点评 本题本题考察了对数函数的概念性质，解不等式，考察了学生的化简运算能力，属于容易题．