【题目】三棱柱中,平面,是边长为的等边三角形,为边中点,且.
(1)求证:平面平面;
(2)求证:平面;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)要证平面平面,只需证明其中一个平面内一条直线垂直于另一个平面即可,易证平面;
(2)要证平面,只需设法在平面知道一条直线与平行即可,故连结交于,则为的中点,再结合为边中点,可得;
(3)要求三棱锥的体积,只需确定底面和相应的高,而以为底面的三棱锥的底面面积和高不易求出,发现可变换为以为底面,为高的三棱锥来求解.
(1)因为平面,平面,所以,
因为为等边三角形,为边中点,所以,
又,平面,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面.
(2)连结交于,则为的中点,连结.
在中,为的中点,为边中点,
所以,又平面,平面,
所以平面.
(3) 三棱柱中,,又平面,
所以平面,所以为三棱锥的高,
在等边中,,为边中点,
所以,,,
所以,
所以.
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【题目】将所有平面向量组成的集合记作, 是从到的映射, 记作或, 其中都是实数. 定义映射的模为: 在的条件下的最大值, 记做. 若存在非零向量, 及实数使得, 则称为的一个特征值.
(Ⅰ)若, 求;
(Ⅱ)如果, 计算的特征值, 并求相应的;
(Ⅲ)试找出一个映射, 满足以下两个条件: ①有唯一的特征值, ②. (不需证明)
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【题目】已知圆:关于直线:对称的圆为.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线与圆交于,两点,是坐标原点,是否存在这样的直线,使得在平行四边形(和为对角线)中?若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)求证:是上的奇函数;
(2)求的值;
(3)求证:在上单调递增,在上单调递减;
(4)求在上的最大值和最小值;
(5)直接写出一个正整数,满足.
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【题目】已知椭圆的上顶点为,且过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率;
(2)斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点,当直线的斜率之积是不为0的定值时,求此时的面积的最大值.
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