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    某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．
    课     程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步
    合格的概率
    2
    3
    3
    4
    2
    3
    1
    2
    （Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
    （Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．
    考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量及其分布列
    专题：概率与统计
    分析：（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)+P(ABC
    .
    D
    )+P(AB
    .
    C
    D)    ，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．
    （II）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3，
    5
    12
    )    ，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
    解答： 解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，
    且事件A，B，C，D相互独立，
    “甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：
    P(ABCD)+P(ABC
    .
    D
    )+P(AB
    .
    C
    D)
    =
    3
    4
    •
    2
    3
    •
    2
    3
    •
    1
    2
    +
    3
    4
    •
    2
    3
    •
    2
    3
    •
    1
    2
    +
    3
    4
    •
    2
    3
    •
    1
    3
    •
    1
    2
    =
    5
    12
    ．
    （2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3，
    5
    12
    )    ，
    P(ξ=0)=
    C
    0
    3
    (
    7
    12
    )3=
    343
    1728
    ，
    P(ξ=1)=
    C
    1
    3
    (
    5
    12
    )(
    7
    12
    )2=
    735
    1728
    ，
    P(ξ=2)=
    C
    2
    3
    (
    5
    12
    )2(
    7
    12
    )=
    525
    1728
    ，
    P(ξ=3)=
    C
    3
    3
    (
    5
    12
    )3=
    125
    1728
    ，
    ∴ξ的分布列为：
     ξ 0 1 2 3
    P 
    343
    1728
    		 
    735
    1728
    525
    1728
         		 
    125
    1728
    ∵ξ～B(3，
    5
    12
    )    ，∴Eξ=3×
    5
    12
    =
    5
    4
    ．
    点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
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