Question

设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：对于任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时f（x）取极小值-．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函数中不含偶次项，得到b=d=0；求出导函数，令导函数在x=1的值为0，令函数在x=1的值为，列出方程组，求出a，c求出解析式．
（2）设出任意两个点，求出该两个点处的导数值，即两条切线的斜率，求出它们的积的范围，得到不可能为-1．
解答：解：解：（1）因为，?x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：，得 ，解之得：，c=-1从而，
函数解析式为：
（2）由于，f'（x）=x²-1，
设任意两数x₁，x₂∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，
则这两点的切线的斜率分别是：k₁=f'（x₁）=x₁²-1，k₂=f'（x₂）=x₂²-1
又因为：-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠-1
故当x∈[-1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直
点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．