Question

【题目】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题： ①对角线AC1被平面A1BD和平面B1 CD1三等分；
②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3；
③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 ；
④正方体与以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：π
其中正确命题的序号为 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， 故对角线AC1= ，
棱锥A﹣A1BD的体积为： ×1×1×1= ．
平面A1BD的面积为：
故A到平面A1BD的距离为： ，
故对角线AC1被平面A1BD和平面B1 CD1三等分，
即①正确；
正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为： ， ， ，
故正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3，
故②正确；
以正方体的顶点为顶点的四面体的体积为 或 ；
故③错误；
以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积为 = π
故正方体与以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：π
故④正确；
所以答案是：①②④
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．