Question

已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆短轴的端点和焦点组成的四边形为正方形，且.
(1)求椭圆方程；
(2)直线过点，且与椭圆相交于、不同的两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.

Answer 1

（1）（2）

解析试题分析：(1)由题意知：又
故椭圆方程为.                                                         ……4分
(2)易知直线的斜率存在，设为，直线方程：，则
,
设，则，
又,                                                            ……7分
所以，
又点到直线的距离，
.                                         …… 10分
令，则,
当且仅当即时，取“”,
此时的方程为.                                              …… 12分
考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的应用、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式和利用基本不等式求最值等知识的综合应用，考查学生综合运用知识解决问题的能力和运算求解能力.
点评：直线与圆锥曲线的关系问题时高考时重点考查的题型，一般是压轴题，难度较大，运算比较复杂，要多加练习，牢固掌握.