Question

3．定义在R上的函数f（x）满足下列两个条件：①f（x-1）图象关于x=1对称，②$\frac{f'（x）}{x}＞0$，若f（1）＜f（lgx），则x的取值范围为$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．

Answer 1

分析 由可得f（x）为偶函数，由②可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，不等式可化为|lgx|＞1，由对数函数可得．

解答 解：由①f（x-1）是定义域为R，并且图象关于x=1对称，
则f（x）图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数，
由②$\frac{{{f^'}（x）}}{x}＞0$得函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（1）＜f（lgx）可化为f（1）＜f（|lgx|），
故|lgx|＞1，即lgx＜-1或lgx＞1，
解得x的取值范围：$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．
故答案为：$（{0\;，\;\frac{1}{10}\;}）∪（{\;10，+∞\;}）$．

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及对数函数的性质，属中档题．