Question

【题目】已知椭圆的离心率为，下顶点为，为椭圆的左、右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为.

（I）求椭圆的方程；

(II)经过点的直线与椭圆交于不同的两点 (均异于点)，试探求直线与的斜率之和是否为定值，证明你的结论.

Answer 1

【答案】（I）；(II) 证明见解析.

【解析】

（I）根据离心率和三角形的周长列方程，解方程求得的值，进而求得的值，从而求得椭圆方程.（II）先求得直线斜率不存在时，与得斜率之和.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用两点的坐标表示出，化简后得到.由此判断出直线与的斜率之和为定值.

（Ⅰ）由题设知，

由椭圆的定义知：的周长为，解得.

故因此，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题设知，

当直线的斜率不存在时，直线方程为，

此时，则.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，得.

由题意知，因此设，

则，

故有直线的斜率之和为

即直线的斜率之和为定值2.