Question

12．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a∈R）
（1）当a=2时，求y=g（x）在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（3）h（x）=g（x）-2e^xf（x），若h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]有两个不同的零点，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）先求导数，然后讨论极值点与区间[t，t+1]的关系，确定函数的单调性，从而求出最值；
（3）分离参数，即有a=x+2lnx+$\frac{3}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不同的解．令m（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，求出导数，求得单调区间和函数的最值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）g（x）=（-x²+2x-3）e^x的导数为g′（x）=e^x（-1-x²），
可得y=g（x）在x=1处的切线斜率为-2e，切点为（1，-2e），
即有y=g（x）在x=1处的切线方程为y+2e=-2e（x-1），
即为2ex+y=0；
（2）由已知得f′（x）=1+lnx，令f′（x）=0．得x=$\frac{1}{e}$．
若$\frac{1}{e}$≤t，则当x∈[t，t+2]时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在[t，t+2]上递增，所以f（x）_min=f（t）=tlnt；
若t＜$\frac{1}{e}$＜t+2，即0＜t＜$\frac{1}{e}$时，则当x∈[t，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，
当x∈（$\frac{1}{e}$，t+2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在[t，$\frac{1}{e}$]上递减，
在[$\frac{1}{e}$，t+2]上递增，
所以此时f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．
所以f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{tlnt，t＞\frac{1}{e}}\\{-\frac{1}{e}，0＜t≤\frac{1}{e}}\end{array}\right.$；
（3）h（x）=g（x）-2e^xf（x）
=（-x²+ax-3）e^x-（2e^x）xlnx，
h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]有两个不同的零点，
即为-x²+ax-3=2xlnx，即a=x+2lnx+$\frac{3}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不同的解．
令m（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，m′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，
当1＜x＜e时，导数m′（x）＞0，m（x）递增；
当$\frac{1}{e}$＜x＜1时，导数m′（x）＜0，m（x）递减．
即有x=1处取得极小值，也为最小值，且为4，
x=e时，m（e）=e+2+$\frac{3}{e}$，x=$\frac{1}{e}$时，m（$\frac{1}{e}$）=3e-2+$\frac{1}{e}$，
由于m（e）＜m（$\frac{1}{e}$），则实数a的范围是（4，e+2+$\frac{3}{e}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的最值求法，注意运用分类讨论和构造函数，运用单调性解决，属于中档题．