Question

已知平面向量

a

=（1，-2），

b

=（2，1），

c

=（-4，-2），则下列结论中错误的是（　　）

• A、向量

  c

  与向量

  b

  共线
• B、若

  c

  =λ₁

  a

  +λ₂

  b

  （λ₁，λ₂∈R），则λ₁=0，λ₂=-2
• C、对同一平面内任意向量

  d

  ，都存在实数k₁，k₂，使得

  d

  =k₁

  b

  +k₂

  c

• D、向量

  a

  在向量

  b

  方向上的投影为0

Answer 1

分析：根据向量共线的条件加以判断，可得故A正确；根据平面向量基本定理与向量的坐标运算法则，解出满足条件的实数λ₁、λ₂的值，可得B正确；由于

c

与

b

是共线向量，根据平面向量基本定理加以判别可得C不正确；由向量数量积公式与向量垂直的条件算出

a

⊥

b

，结合向量投影的含义可得D正确．

解答：解：对于A，由

b

=（2，1）、

c

=（-4，-2），得

b

=-

1

2

c

，
可得向量

c

与向量

b

方向相反，且

c

的长度等于

b

的长度的一半，
由此可得向量

c

与向量

b

共线，故A正确；
对于B，由向量

a

=（1，-2）、

b

=（2，1）、

c

=（-4，-2），
若

c

=λ₁

a

+λ₂

b

，则

-4=λ1+2λ2 -2=-2λ1+λ2

，
解得λ₁=0，λ₂=-2，可得B正确；
对于C，由于

b

=-

1

2

c

，可得对于实数k₁、k₂，

d

=k₁

b

+k₂

c

=（-

1

2

k₁+k₂）

c

，说明向量

d

表示与向量

c

共线的一个向量，
不能表示平面内的任意向量，故C不正确；
对于D，由

a

=（1，-2）、

b

=（2，1），可得

a

•

b

=1×2+（-2）×1=0，
因此向量

a

⊥

b

，可得

a

在向量

b

方向上的投影为0，故D正确．
故选：C

点评：本题给出三个向量的坐标，判断关于此三个向量的命题的真假．着重考查了平面向量基本定理、数乘向量的含义、向量数量积公式与向量投影的概念等知识，属于中档题．