Question

5．已知函数f（x）=x³-3x，x∈R．
（Ⅰ）判断函数y=f（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）如果函数g（x）=x²-$\frac{k}{x}$-3，k∈R有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数单调性的定义进行证明即可；
（Ⅱ）问题转化为函数f（x）=x³-3x与y=k有3个不同的交点的问题，求出函数f（x）的最大值和最小值，从而求出k的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，
证明如下：
f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{3}$-3x₁）-（${{x}_{2}}^{3}$-3x₂）
=（${{x}_{1}}^{3}$-${{x}_{2}}^{3}$）-（3x₁-3x₂）
=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3），
设x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，0＜${{x}_{1}}^{2}$＜1，0＜${{x}_{2}}^{2}$＜1，0＜x₂x₁＜1，
${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数y=f（x）在区间（0，1）上是减函数，
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，${{x}_{1}}^{2}$＞1，${{x}_{2}}^{2}$＞1，x₂x₁＞1，
${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数y=f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
综上，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（Ⅱ）∵函数g（x）有3个不同的零点，
∴方程x²-$\frac{k}{x}$-3=0有3个不同的实数根，
即方程x³-3x-k=0有3个不同的实数根，
∴函数f（x）=x³-3x与y=k有3个不同的交点，
由（Ⅰ）得：函数f（x）在区间（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）在区间（0，+∞）的最小值是f（1）=-2，
∵f（-x）=（-x）³-3（-x）=-x³+3x=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上有最大值f（-1）=2，
∴当0＜k＜2或-2＜k＜0时，直线y=k和函数f（x）d的图象有3个不同的交点，
∴k的范围是（-2，0）∪（0，2）．

点评 本题考查了函数的单调性的证明问题，函数的极值问题，考查函数的零点问题，考查导数的应用，是一道中档题．